Обобщённое матричное умножение

В качестве произведения двух матриц Graph и Graph будем рассматривать матрицу Graph, построенную при помощи функции Graph, где Graph . При этом перемножаться могут матрицы размера Graph, где Graph — число строк, Graph — число столбцов матрицы. Элемент Graph, стоящий в Graph – той строке и Graph – том столбце, есть функция Graph от Graph элементов Graph – той строки матрицы Graph и Graph элементов Graph – того столбца матрицы Graph:

Graph

В матрице Graph для обозначения Graph – той строки будем писать Graph, а для обозначения Graph – того столбца будем писать Graph. В этих обозначениях элемент Graph можно записать в виде произведения строки на столбец: Graph.

Определим множество всех строк Graph

и множество всех столбцов Graph.

Для произвольной матрицы Graph можно рассмотреть матрицы Graph и Graph, отличающиеся от исходной только перестановкой двух строк Graph и Graph или перестановкой двух столбцов Graph и Graph соответственно. Вполне естественно потребовать, что для множеств Graph и Graph всегда выполняется условие: Graph. Если это не так, тогда всегда можно перейти к подмножеству Graph, для которого справедливо Graph.

Потребуем, чтобы в множестве всех матриц размера Graph существовало подмножество матриц Graph, для которых данное умножение было групповым. Усиливая данное требование, будем считать, что четверка Graph задаёт обобщённое матричное умножение, если справедливы аксиомы:

A1. Graph;

A2. Graph;

A3. Graph;

A4. Graph;

A5. Graph.

Два обобщенных матричных умножения Graph и Graph Graph естественно считать эквивалентными, если они задают изоморфные матричные группы. Если определено обобщённое матричное умножение Graph, то над множеством Graph определена и ФС ранга (Graph). Действительно, если определить Graph, Graph, Graph , Graph, тогда для произвольных Graph и произвольных Graph справедливо тождество

(1)Graph

При этом строки Graph составляют матрицу Graph, а столбцы Graph — матрицу Graph. Результатом умножения строки на матрицу Graph будет строка, а результатом умножения матрицы на столбец Graph будет столбец.

В случае Graph тождество (1) превращается в тождество Graph из которого следует, что функция Graph является двухточечным инвариантом группы преобразований. Изучению этого вопроса были посвящены ряд работ Г.Г. Михайличенко1).

Используя алгебраическую аксиоматику и понятие обобщённого матричного умножения Фирдманом И.А. 2) 3) была решена задача по классификации решений ТФС с некоторыми дополнительными ограничениями, над топологическими пространствами.

Примеры

В качестве примера обобщённого матричного умножения с функцией, отличающейся от билинейной, можно рассмотреть второе однометрическое решение ФС ранга Graph с функцией Graph записанной в виде

(2)Graph

ФС ранга Graph получается из записанного выше решения, если положить Graph. Матричную группу с умножением, построенным при помощи функции (2) можно записать 4) и при помощи обычного матричного умножения, но построенную над матрицами:

Graph

Заметим ещё, что любая ФС ранга Graph над множеством Graph, задаваемая соответствующим обобщённым матричным умножением, представима как ФС ранга Graph или Graph над множеством Graph или Graph соответственно.

1) Михайличенко Г.Г. Групповая симметрия физических структур. Барнаул: БГПУ, 2003, с. 204.
2) Фирдман И.А. Алгебраическая классификация физических структур с нулём. I. Сиб. журнал индустриальной математики. 2005, т. 8, № 4 (24), с. 131–148.
3) Фирдман И.А. Алгебраическая классификация физических структур с нулём. II. Топологические аспекты. Сиб. журнал индустриальной математики. 2006, т. 9, № 1 (25), с. 135–146.
4) Бардаков В.Г., Симонов А.А. Об одной матричной группе. 2010,