Пусть имеются два множества $ {}^{} \mathfrak M $ и $ {}^{} \mathfrak{N}$, являющиеся $sm $ – мерным и $sn$ – мерным многообразиями, где $ s, m $ и $ n $ — натуральные числа, точки которых будем обозначать строчными латинскими и греческими буквами соответственно, а также функция ${}^{} f:\ \mathfrak{S}_{f}\rightarrow \mathbb{R}^{s}$, где ${}^{} \mathfrak{S}_{f}\subseteq \mathfrak{M}\times \mathfrak{N}$, сопоставляющая каждой паре ${}^{} i\times \alpha \in \mathfrak{S}_{f}$ совокупность вещественных чисел ${}^{} f(i\alpha )=(f^{1}(i\alpha ),\ldots ,f^{s}(i\alpha ))\in \mathbb{R}^{s}$. Заметим, что в общем случае ${}^{} \mathfrak{S}_{f}\neq \mathfrak{M}\times \mathfrak{N}$, то есть функция ${}^{} f $ не всякой паре из ${}^{} \mathfrak{M} \times \mathfrak{N}$ сопоставляет набор из $ {}^{} s $ чисел. Обозначим через ${}^{} U(i)$ и ${}^{} U(\alpha )$ окрестности точек ${}^{} i \in \mathfrak{M}$ и ${}^{} \alpha \in \mathfrak{N}$, через ${}^{} U(i\alpha )$ – окрестность пары ${}^{} i \times \alpha \in \mathfrak{M} \times \mathfrak{N}$ и, аналогично, окрестности кортов из других прямых произведений множеств ${}^{} \mathfrak{M}$ и ${}^{} \mathfrak{N}$ на себя или друг на друга.

Для некоторых кортов $ {}^{} \langle k_{1} \ldots k_{n} | \in \mathfrak{M}^{n} $ и ${}^{} | \gamma _{1} \ldots \gamma _{m} \rangle \in \mathfrak{N}^{m}$ введем функции $ {}^{} f^{n} = f[k_{1} \ldots k_{n}]$ и $ {}^{} f^{m} = f[\gamma _{1}\ldots \gamma _{m}] $, сопоставляя точкам $ {}^{} i \in \mathfrak{M} $ и $ \alpha \in \mathfrak{N} $ точки $ {}^{} (f(k_{1} \alpha ), \ldots , f(k_{n} \alpha )) \in \mathbb{R}^{sn} $ и $ {}^{} (f(i\gamma _{1}), \ldots , f( i \gamma _{m} )) \in \mathbb{R}^{sm} $, если пары $ {}^{} k_{1} \times \alpha , \ldots , k_{n} \times \alpha $ и $ {}^{} i \times \gamma _{1}, \ldots , i \times \gamma _{m}$ принадлежат $ {}^{} \mathfrak{S}_{f} $. Заметим, что функции ${}^{} f^{m} $ и $ {}^{} f^{n}$ не обязательно определены всюду на множествах $ {}^{} \mathfrak{M} $ и $ {}^{} \mathfrak{N}$. Будем предполагать выполнение следующих трёх аксиом:


Аксиома II. Область определения ${}^{} \mathfrak{S}_{f}$ функции $ {}^{} f $ есть открытое и плотное в ${}^{} \mathfrak{M}\times \mathfrak{N} $ множество.

Аксиома III. Функция $ {}^{}f $ в области своего определения есть достаточно гладкая функция.

Аксиома IV. В ${}^{} \mathfrak{M}^{n}$ и ${}^{} \mathfrak{N}^{m}$ плотны множества таких кортов длины $ n $ и $ m $, для которых функции ${}^{} f^{n}$ и ${}^{} f^{m}$ имеют максимальные ранги, равные $ n $ и $ m $, в точках плотных в ${}^{} \mathfrak{N}$ и ${}^{} \mathfrak{M}$ множеств соответственно.


Достаточная гладкость означает, что в области своего определения непрерывна как сама функция ${}^{} f $, так и все её производные достаточно высокого порядка. Заметим также, что ограничения в аксиомах II, III, IV открытыми и плотными подмножествами связаны с тем, что исходные множества могут содержать исключительные подмножества меньшей размерности, где эти аксиомы не выполняются.

Введём ещё функцию $ {}^{} F $, сопоставляя бикору $ {}^{} \langle ijk\ldots v|\alpha \beta \gamma \ldots \tau \rangle $ длины $ n+m+2 $ из ${}^{} \mathfrak{M}^{n+1}\times \mathfrak{N}^{m+1}$ точку ${}^{} (\langle i|\alpha \rangle ,\langle i|\beta \rangle ,\ldots ,\langle v|\tau \rangle )\in \mathbb{R}^{s(n+1)(m+1)}$, координаты которой в ${}^{} \mathbb{R}^{s(n+1)(m+1)}$ определяются упорядоченной по исходному бикорту последовательностью значений функции ${}^{} f$ для всех пар его элементов: ${}^{} i\times \alpha ,i\times \beta ,\ldots ,v\times \tau $, если эти пары принадлежат ${}^{} \mathfrak{S}_{f}$. Область определения введённой функции есть, очевидно, открытое и плотное в ${}^{} \mathfrak{M}^{n+1}\times \mathfrak{N}^{m+1}$ множество, которое обозначим через ${}^{} \mathfrak{S}_{F}$.

Определение 1. Будем говорить, что функция $ {}^{} f $, удовлетворяющая аксиомам II, III, IV, задает на $ sm $ – мерном и $ sn $ – мерном многообразиях $ {}^{} \mathfrak{M}$ и ${}^{} \mathfrak{N} \ \ s$ – метрическую физическую структуру ранга $(n+1,m+1),$ если выполняется аксиома:


Аксиома I. Существует плотное в ${}^{} \mathfrak{S}_{F}$ множество такое, что для каждого бикорта ${}^{} \langle ijk\ldots v|\alpha \beta \gamma \ldots \tau \rangle $ длины $m+n+2$ и некоторой его окрестности ${}^{} U(\langle ijk\ldots v|\alpha \beta \gamma \ldots \tau \rangle )$ найдётся такая достаточно гладкая функция ${}^{} \Phi :{\mathcal{E}}\rightarrow \mathbb{R}^{s}$, определённая в некоторой области ${}^{} {\mathcal{E}}\subset \mathbb{R}^{s(m+1)(n+1)}$, // содержащей точку // $F(\langle ijk\ldots v|\alpha \beta \gamma \ldots \tau \rangle )$, //что в ней // $rang \Phi =s$ // и множество // ${}^{} F(U(\langle ijk\ldots v|\alpha \beta \gamma \ldots \tau \rangle ))$ // является подмножеством множества нулей функции // ${}^{} \Phi $, то есть $ {}^{} \Phi (\langle ijk\ldots v|\alpha \beta \gamma \ldots \tau \rangle )=0 $ для всех бикортов из ${}^{} U(\langle ijk\ldots v|\alpha \beta \gamma \ldots \tau \rangle )$.


Аксиома I составляет содержание принципа феноменологической симметрии в теории физических структур, предложенной Ю.И. Кулаковым.

Уравнения ${}^{} \Phi =0$ задают $ s $ функциональных связей между $s(m+1)(n+1)$ измеряемыми в опыте значениями физических величин ${}^{} f=(f^{1},\ldots ,f^{s})$ и являются аналитическим выражением физического закона, записанного в феноменологически инвариантной форме.

Условие ${}^{} \text{rang}\ \Phi =s$ означает, что уравнения ${}^{} \Phi =0$ (то есть ${}^{} \Phi _{1}=0,\ldots ,\Phi _{s}=0$) независимы.