Групповая симметрия физических структур и её эквивалентность феноменологической симметрии были установлены Михайличенко Г.Г. в 1985 году 1).

Под локальным движением в геометрии двух множеств $ {}^{} \mathfrak{M} $ и $ {}^{} \mathfrak{N} $ будем понимать такую пару взаимно однозначных гладких отображений:

(1) $ {}^{} \lambda :U\rightarrow U^{\prime }\ \text{и}\ \sigma :V\rightarrow V^{\prime }, \label{mix1-5} $

где ${}^{} U,U^{\prime }\subset \mathfrak{M}$ и ${}^{} V,V^{\prime }\subset \mathfrak{N}$ — открытые области, при которых функция $ {}^{} f $ сохраняется. Последнее означает, что для каждой пары $ {}^{} i \times \alpha \in \mathfrak{S}_{f} $ , такой что $ {}^{} i \in U,\ \alpha \in V $ и $ {}^{} i^{\prime }\times \alpha ^{\prime }\ \in \mathfrak{S}_{f} $ , где $ {}^{} i^{\prime }=\lambda (i)\in U^{\prime } $, $ {}^{} \alpha ^{\prime }=\sigma (\alpha )\in V^{\prime } $ , имеет место равенство

(2) $ {}^{} \langle \lambda (i)|\sigma (\alpha )\rangle =\langle i|\alpha \rangle .$

Множество всех движений (1) есть локальная группа, для которой функция $ {}^{} f $ , согласно равенству (2), является двухточечным инвариантом. Преобразования $ {}^{} \lambda $ и $ {}^{} \sigma $ в движениях (1) сами составляют две отдельные группы, а группа движений есть их взаимное расширение. Если функция $ {}^{} f $ известна, то равенство (2) представляет собой функциональное уравнение относительно преобразований $ {}^{} \lambda $ и $ {}^{} \sigma $ . Если же о функции $ {}^{} f $ известно только, что она невырождена и феноменологически инвариантна, то есть, удовлетворяет некоторой системе $ {}^{} s $ независимых уравнений $ {}^{} \Phi _1= 0,\ldots , \Phi _s= 0$, то этого, оказывается, достаточно для установления факта существования группы ее движений, зависящей от $ {}^{} s m n $ параметров.

Определение 2. Будем говорить, что функция $ {}^{} f=(f^{1},\ldots ,f^{s}) $, удовлетворяющая аксиомам II, III, IV, задаёт на $ sm $ – мерном и $ sn $ – мерном многообразиях $ {}^{} \mathfrak{M} $ и $ {}^{} \mathfrak{N} $ $ {}^{} s $ – метрическую геометрию, наделённую групповой симметрией степени $ {}^{} smn $, если дополнительно выполняется следующая аксиома:

Аксиома I'. Существуют открытые и плотные в $ {}^{} \mathfrak{M} $ и $ {}^{} \mathfrak{N} $ множества, для всех точек $ {}^{} i $ и $ {}^{} \alpha $ которых определены эффективные гладкие действия $ {}^{} smn $ – мерной локальной группы Ли в некоторых окрестностях $ {}^{} U(i) $ и $ {}^{} U(\alpha ) $ , такие, что действия её в окрестностях $ {}^{} U(i),U(j) $ и $ U(\alpha ),U(\beta ) $ точек $ i,j $ и $ {}^{} \alpha , \beta $ совпадают в пересечениях $ U(i)\cap U(j) $ и $ {}^{} U(\alpha )\cap U(\beta ) $ и что функция $ {}^{} f $ является двухточечным инвариантом по каждой из своих $ {}^{} s $ компонент.

Группы преобразований, о которых говорится в аксиоме I', определяют своеобразную локальную подвижность жестких фигур (твердых тел) в пространстве $ {}^{} \mathfrak{M}\times \mathfrak{N} $ с $ {}^{} smn $ степенями свободы.

1)
Михайличенко Г.Г. Феноменологическая и групповая симметрии в геометрии двух множеств (теории физ. структур). ДАН СССР, 1985, т. 284, № 1, стр. 39–41., опубликована в ДАН по представлению академика А.Д. Александрова, а соответствующие полные доказательства можно найти в монографии Михайличенко Г.Г. Математический аппарат теории физических структур. Горно–Алтайск: Универ–Принт ГАГУ, 1997, с. 154.