Расширение понятия ФС на полиметрические ФС вполне оправданно, когда каждой паре $ {}^{} i\times \alpha \in \mathfrak{S}_{f}\subseteq \mathfrak{M}\times \mathfrak{N} $ сопоставляется совокупность $ s $ – вещественных чисел $ {}^{} \langle i|\alpha \rangle =f(i\times \alpha )= (f^{1}(i\alpha ),\ldots ,f^{s}(i\alpha ))\in \mathbb{R}^{s} $. Действительно, в приведённом во введении примере с законом Ома, его истинность будет и в случае переменных токов, но тогда требуется провести одновременно не одно, а два измерения, что эквивалентно $ {}^{} s=2 $. Кроме того, во введении приведён пример построения термодинамики при помощи двух измеряемых на опыте работ цикла Карно. И если двуметрический аналог закона Ома можно записать через комплексные числа, то в двуметрической записи термодинамики такой переход невозможен.

Для случаев $ {}^{} B=\mathbb{R}^{2} $, $ {}^{} \mathbb{R}^{3} $ и $ {}^{} \mathbb{R}^{4} $ ($ s=2,3 $ и $ 4 $) полной классификации решений, с точностью до локальной эквивалентности, получить не удалось и, по этой причине, исследовались только частные случаи. Для двуметрической ФС ранга $ (2,n) $ установлено 1), что решение существует только при $ n=2,3,4,5 $, при этом были найдены все возможные отображения — $ {}^{} f=(f^{1},f^{2}) $. Также были полностью найдены все триметрические 2) и четыреметрические 3) ФС ранга $ (2,2) $. Ниже приведём

Двуметрические решения ФС:

для $ n=1 $, то есть ранга $ (2,2) $:

$ {}^{} f^{1}=x_{1}+\xi _{1},\ f^{2}=x_{2}+\xi _{2}; $

$ {}^{} f^{1}=(x_{1}+\xi _{2})x_{2},\ f^{2}=(x_{1}+\xi _{1})\xi _{2}; $

для $ n=2 $, то есть ранга $ (3,2) $:

$ {}^{} f^{1}=x_{1}\xi _{1}+\varepsilon x_{2}\xi _{2}+\xi _{3},\ f^{2}=x_{1}\xi _{2}+x_{2}\xi _{1}+\xi _{4},\ \varepsilon =0,\pm 1, \label{2m-711} $

(1)$ {}^{} f^{1}=x_{1}\xi _{1}+\xi _{3},\ f^{2}=x_{1}\xi _{2}+x_{2}|\xi _{1}|^{c}+\xi _{4} $

$ {}^{} f^{1}=x_{1}\xi _{1}+\xi _{3},\ f^{2}=x_{1}\xi _{2}+x_{2}\xi _{1}^{2}+x_{1}^{2}\xi _{1}^{2}\ln |\xi _{1}|+\xi _{4}, \label{2m-713} $

(2) $ {}^{} f^{1}=x_{1}\xi _{1}+x_{2}\xi _{3},\ f^{2}=x_{1}\xi _{2}+x_{2}\xi _{4};$

для $ n=3 $, то есть ранга $ (4,2) $:

$ {}^{} \begin{array}{c} f^{1}=\frac{(x_{1}\xi _{1}+\varepsilon x_{2}\xi _{2}+\xi _{3})(x_{1}+\xi _{5})-\varepsilon (x_{1}\xi _{2}+x_{2}\xi _{1}+\xi _{4})(x_{2}+\xi _{6})}{(x_{1}+\xi _{5})^{2}-\varepsilon (x_{2}+\xi _{6})^{2}},
f^{2}=\frac{(x_{1}\xi _{1}+\varepsilon x_{2}\xi _{2}+\xi _{3})(x_{2}+\xi _{6})-(x_{1}\xi _{2}+x_{2}\xi _{1}+\xi _{4})(x_{1}+\xi _{5})}{(x_{1}+\xi _{5})^{2}-\varepsilon (x_{2}+\xi _{6})^{2}}, \end{array} $

где $ {}^{} \varepsilon =0,\pm 1 $,

$ {}^{} f^{1}=\frac{x_{1}\xi _{1}+\xi _{3}}{x_{1}+\xi _{5}},\ f^{2}=\frac{x_{1}\xi _{2}+x_{2}\xi _{4}+\xi _{6}}{x_{1}+\xi _{5}}, $

(3) $ {}^{} f^{1}=x_{1}\xi _{1}+x_{2}\xi _{3}+\xi _{5},\ f^{2}=x_{1}\xi _{2}+x_{2}\xi _{4}+\xi _{6}; $

для $ n=4 $, то есть ранга $ (5,2) $:

(4) $ {}^{} f^{1}=\frac{x_{1}\xi _{1}+x_{2}\xi _{3}+\xi _{5}}{x_{1}\xi _{8}+x_{2}+\xi _{7}},\ f^{2}=\frac{x_{1}\xi _{2}+x_{2}\xi _{4}+\xi _{6}}{x_{1}\xi _{8}+x_{2}+\xi _{7}}. $

Двуметрики (2), (3), (4), а также двуметрика (1) для случая $ c=0 $ в форме $ {}^{} f^{1}=x_{1}\xi _{1}+x_{2}+\xi _{3},\ f^{2}=x_{1}\xi _{2}+x_{2}+\xi _{4} $, ранее были обнаружены Е.Л.Лозицким (частное сообщение и 4)). Остальные впервые найдены Михайличенко Г.Г., который дополнительно доказал полноту приведённой классификации двуметрик. В указанной ранее статье 5) приведены также несколько примеров двуметрик ранга $ (3,3) $:

(5)$ {}^{} f^{1}=x_{1}\xi _{1}+x_{2}\xi _{2}, \ f^{2}=x_{3}\xi _{3}+x_{4}\xi _{4}, $
(6)$ {}^{} f^{1}=x_{1}\xi _{1}+x_{2}+\xi _{2}, \ f^{2}=x_{3}\xi _{3}+x_{4}+\xi _{4}, $

$ {}^{} f^{1}=x_{1}\xi _{1}-x_{2}\xi _{2}+x_{3}\xi _{3}-x_{4}\xi _{4}, f^{2}=x_{1}\xi _{2}+x_{2}\xi _{1}+x_{3}\xi _{4}+x_{4}\xi _{3}, $

$ {}^{} f^{1}=x_{1}\xi _{1}-x_{2}\xi _{2}+x_{3}+\xi _{3}, f^{2}=x_{1}\xi _{2}+x_{2}\xi _{1}+x_{4}+\xi _{4}. $

Нетрудно заметить, что решения (5) и (6) являются прямым произведением двух решений однометрических структур ранга $ (3,3) $, которые вполне естественно дополняются ещё одним решением:

$ {}^{} f^{1}=x_{1}\xi _{1}+x_{2}\xi _{2}, f^{2}=x_{3}\xi _{3}+x_{4}+\xi _{4}. $

Существование такого решения следует из общей теоремы построения по $ {}^{} s_{1} $ и $ {}^{} s_{2} $ метрическим структурам ранга $ {}^{} (n_{1}+1,2) $ и ($ n_{2}+1,2) $ новой $ s_{3} $ метрической структуры ранга $ {}^{} (n_{3}+1,2) $ при помощи феноменологически симметричного произведения 6). Оставшиеся два решения получаются комплексификацией однометрических решений ФС ранга $ (3,3) $. В работе Михайличенко Г.Г. и Мурадова Р.М. 7) комплексификация расширяется рассмотрением однометрических решений над гиперкомплексными числами ранга 2, т.е. когда, помимо случая с обычной мнимой единицей $ {}^{} i^{2}=-1 $, необходимо записать ещё решения для $ {}^{} i^{2}=1 $ и $ {}^{} i^{2}=0 $. Совершенно аналогично можно перейти к триметрическим решениям при рассмотрении однометрических решений над гиперкомплексными числами ранга 3, к четыреметрическим — при рассмотрении над гиперкомплексными числами ранга 4 и т.д. 8).

1)
Михайличенко Г.Г. Двуметрические физические структуры и комплексные числа. ДАН 1991, том 321, № 4, с. 677–680.
2)
Михайличенко Г.Г. Простейшие полиметрические геометрии. ДАН 1996, том 348, № 1, с. 22–24.
3)
Кыров В.А. Классификация четырехмерных транзитивных локальных групп Ли преобразований пространства $ {}^{} \mathbb{R}^{4}$ и их двухточечных инвариантов}. Известия вузов. Математика. 2008, \No 6, с. 29–42.
4) , 5)
Михайличенко Г.Г., Лозицкий Е.Л. Простейшие двуметрические физические структуры, Методологические и технологические проблемы информационно–логических систем (вычислительные системы, 125), Новосибирск, 1988, с. 88–89.
7)
Михайличенко Г.Г. , Мурадов Р.М. Гиперкомплексные числа в теории физических структур, Известия вузов. Математика. 2008, №10, с. 25–30.
8)
Михайличенко Г.Г. , Мурадов Р.М. Физические структуры как геометрии двух множеств. C приложениями В.А Кырова и А.Н. Бородина. Горно–Алтайск. Изд–во ГАГУ, 2008, с. 156.