Первые шаги в изучении алгебраических систем, возникающих в ТФС, были сделаны в 80–х годах прошлого столетия Витяевым Е.Е.1) и Иониным В.К.2) при изучении ФС минимального ранга — (2,2). Витяевым Е.Е., в силу выбранных дополнительных аксиом аддитивной соединительной структуры Теории Измерений3), были получены решения для ФС ранга $ (2,2) $, являющиеся абелевыми группами.

Ионин В.К., использовал более слабую систему аксиом, в которой помимо аксиомы I из алгебраической системы аксиом и условия $ {}^{} \mathfrak{M=N}=B$, было ещё требование:

II. $ {}^{} (\forall i\times \alpha \in \mathfrak{M\times N})(\forall j\in \mathfrak{M})(\forall \beta \in \mathfrak{N}) $ отображения $ {}^{} j\mapsto \langle j|\alpha \rangle ,\beta \mapsto \langle i|\beta \rangle $ биективны.

При таких ограничениях Ионин В.К. показал эквивалентность класса ФС ранга $ (2,2) $ классу всех групп — $ {}^{} (B,\cdot ,^{-1})$. В этом случае репрезентатор $ {}^{} f $ записывается через групповую операцию $ {}^{} f(x,y)=\langle x | y \rangle =x\cdot y, $ а функция – верификатор $ g $ в виде $ {}^{} g(x,y,z)=x\cdot y^{-1}\cdot z $ так, что справедливо тождество $ {}^{} \langle i|\alpha \rangle =\langle i|\beta \rangle \cdot \langle j|\beta \rangle ^{-1}\cdot \langle j|\alpha \rangle $.

Значительно позже Бородин А.Н.4) также изучал данную структуру с точки зрения тернарной алгебраической операции — груды $ {}^{} [,,]:B^{3}\rightarrow B$ и показал, что над грудой можно построить ФС ранга $ (2,2)$. Но любое решение над грудой можно записать в виде эквивалентного решения над группой, с групповой операцией $ {}^{} x\cdot y=[xzy]$, где $ {}^{} z\in B $ — произвольный элемент груды.

В совместной работе Мурадова Р.М. и Кырова В.А.5) рассматривалась запись репрезентатора и верификатора в виде квазигруппы Уорда. В данной квазигруппе $ {}^{} \langle i|\alpha \rangle =i\circ \alpha $, а связь четырёх репрезентаторов записывается в виде $ {}^{} \langle i|\alpha \rangle \circ \langle j|\alpha \rangle =\langle i|\beta \rangle \circ \langle j|\beta \rangle $. Но, с другой стороны, такая запись возможна только когда квазигруппа изотопна группе, тогда $ {}^{} x\circ y=x\cdot y^{-1} $ и новых, чисто квзигрупповых решений, не возникает.

Необходимо ещё отметить решение ФС ранга $ (2,2) $ над комплексными числами $ {}^{} \mathbb{C} $, полученное Литвинцевым А.А.6), которое так же, как и в случае вещественных чисел, сводятся к двум изоморфным решениям — сложению $ {}^{} \langle i|\alpha \rangle =x_{i}+y_{\alpha } $ и умножению $ {}^{} \langle i|\alpha \rangle =x_{i}y_{\alpha } $ комплексных чисел $ {}^{} x_{i},y_{\alpha }\in \mathbb{C} $.

Вернёмся теперь к полиметрическим ФС ранга $ (2,2) $ 7),8), но, воспользовавшись теоремой Ионина В.К., перепишем эти решения в эквивалентном, групповом виде:

Однометрические физические структуры ранга (2,2).

Над $ {}^{} B=\mathbb{R}$ можно построить только одну локально неизоморфную группу — аддитивную группу $ {}^{} {\mathbb{R}}$.

Двуметрические физические структуры ранга (2,2).

Над $ {}^{} B={\mathbb{R}}^{2} $ таких групп уже две, причем они построены при помощи прямого $ {}^{} G_{1}={\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}} $ и полупрямого произведения $ {}^{} G_{2}={\mathbb{R}}\leftthreetimes {\mathbb{R}}_{0}$, где $ {}^{} {\mathbb{R}}_{0}={\mathbb{R}}\setminus \{0\}. $ При этом подгруппа $ {}^{} {\mathbb{R}}\triangleleft G_{2} $ будет нормальной. Полупрямое произведение можно построить тогда и только тогда, когда для группы $ {}^{} G=N\leftthreetimes H $ существует гомоморфизм подгруппы $ H $ в подгруппу автоморфизмов нормальной группы $ {}^{} H\rightarrow N^{\prime }\subseteq Aut(N)$. Аддитивная группа $ {}^{} {\mathbb{R}} $ обладает естественным автоморфизмом, который строится при помощи умножения на любое число из $ {}^{} {\mathbb{R}}_{0}$, следовательно, группу $ G_{2}$, получающуюся при помощи полупрямого произведения аддитивной и мультипликативной групп, можно записать в виде $ {}^{} (x_{1},x_{2})(y_{1},y_{2})=(x_{1}{y_{2}}+y_{1},x_{2}y_{2})$.

Триметрические физические структуры ранга (2,2).

Над $ {}^{} B=\mathbb{R}^{3} $ можно построить уже семь локально неизоморфных групп:

$ {}^{} G_{1}={\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}}$.

Аддитивная группа $ {}^{} {\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}} $ обладает следующим однопараметрическим автоморфизмом: $ {}^{} (x_{1},x_{2})^{a}=(x_{1}+x_{2}a,x_{2})$, тогда группа $ {}^{} G_{2}=({\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}})\leftthreetimes {\mathbb{R}} _{0} $ или покомпанентно $ {}^{} G_{2}(x,y)=G_{2}(x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3})= (x_{1}+y_{1}+x_{2}y_{3},x_{2}+y_{2},x_{3}y_{3}) $. Данная группа имеет собственное название — трёхмерная группа Гейзенберга или группа Nil.

Группы $ {}^{} G_{3}$, $ {}^{} G_{4} $ и $ {}^{} G_{5} $ строятся совершенно аналогично, но используются только другие автоморфизмы аддитивной группы $ {}^{} {\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}}$, а именно:

$ {}^{} (x,y)^{a}=(ax,a(y-x\ln |a|)) \Rightarrow $ $ {}^{} G_{3}(x,y)=(x_{3}y_{1}+x_{1},x_{3}(y_{2}-y_{1}\ln |x_{3}|)+x_{2},x_{3}y_{3});$

(1) $ {}^{} (x,y)^{a}=(ax,|a|^{p}y)\ \Rightarrow \ G_{4}(x,y)=(x_{3}y_{1}+x_{1},|x_{3}|^{p}y_{2}+x_{2},x_{3}y_{3}); $

$ {}^{} (x,y)^{a}=((x\cos (a)-y\sin (a))e^{\gamma a},(x\sin (a)+y\cos (a))e^{\gamma a})\ \Rightarrow $

$ {}^{} G_{5}(x,y)=((x_{1}\cos (y_{3})-x_{2}\sin (y_{3}))\exp {(\gamma y}_{3}{)}+y_{1},$ $ (x_{1}\sin (y_{3})+x_{2}\cos (y_{3}))\exp {(\gamma }y_{3}{)}+y_{2},x_{3}+y_{3}),$

при этом подгруппа $ {}^{} H<N\leftthreetimes H$ в первых двух случаях будет изоморфна мультипликативной группе $ {}^{} {\mathbb{R}}_{0}$, а в последнем случае изоморфна $ {}^{} {\mathbb{R}}$, т.е. $ G_{3} $ и $ G_{4} $ можно представить в виде $ {}^{} ({\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}})\leftthreetimes {\mathbb{R}}_{0}$, а $ {}^{} G_{5}\thickapprox ({\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}})\leftthreetimes {\mathbb{R}} $. Группа (1) при $ p=-1$ изоморфна группе Sol.

Ещё два решения не содержат нормальных подгрупп $ N $, а, следовательно, просты: $ G_{6} $ изоморфна группе $ SO(3), $ а группа $ G_{7} $ $ {}^{} \thickapprox SL(2,{\mathbb{R}})$.

1)
Витяев Е.Е., Числовое, алгебраическое и онструктивное представления одной физической структуры. Логико-математические основы проблемы МОЗ. Новосибирск, 1985. Вып. 107: Вычислительные системы. с.40–51.
2)
Ионин В.К., Абстрактные группы как физические структуры. Системология и методологические проблемы информационно–логических систем. Новосибирск, 1990. Вып. 135: Вычислительные системы. с. 40–43.
3)
Krantz D.H., Luce R.D., Suppes P., Tversky A., Foundations of measurement. V.1 – New York and London: Academic Press, 1971, p.576
4)
Бородин А.Н. Груда и группа как физическая структура. Приложение 1. в монографии Г.Г. Михайличенко Групповая симметрия физических структур. Барнаул: БГПУ, 2003, с. 195–203.
5)
Мурадов Р.М., Кырова В.А., О квазигруппах, возникающих из физической структуры ранга (2, 2). Прикладная дискретная математика, 2008, №2, 12–14.
6)
Литвинцев А.А., Комплексная физическая структура ранга (2,2). Приложение 1 в монографии Г.Г. Михайличенко Математический аппарат физических структур, 1997 г., с. 147-159.
7)
Михайличенко Г.Г., Простейшие полиметрические геометрии Простейшие полиметрические геометрии. ДАН 1996, том 348, №1, с.22–24.
8)
Михайличенко Г.Г., Лозицкий Е.Л., Простейшие двуметрические физические структуры, Методологические и технологические проблемы информационно–логических систем (вычислительные системы, 125), Новосибирск,1988, с. 88–89.