Если физическую структуру ранга $ (2,2) $ можно построить над алгебраической структурой с одной бинарной операцией — группой, то для построения ФС ранга $ (3,2) $ требуется более богатая алгебраическая структура. Из работ Михайличено Г.Г. известно, что над полем вещественных чисел можно построить ФС ранга $ (3,2) $ с репрезентатором, определённом в виде $ {}^{} \langle i|\alpha \rangle =x_{i}\xi _{\alpha }+\eta _{\alpha } $. Более того, такой репрезентатор будет справедлив, построенный и над произвольным полем, телом, почтиполем, почти–кольцом с групповой мультипликативной операцией или над правой почтиобластью1). В отличие от поля $ {}^{} \mathbb{P} $, в котором имеется две операции — аддитивная и мультипликативная, связанные между собой правой и левой дистрибутивностью, в почтиполе отсутствует одна из дистрибутивностей, а мультипликативная операция может быть не коммутативной. В правой почтиобласти аддитивная операция может быть уже не групповой, а только правой лупой. Кроме того оставшаяся дистрибутивность может тоже выполняться в приближённом виде.

Над правой почтиобластью, при помощи функции $ {}^{} f(x,y,z)=x\cdot (y-z)+z $ можно построить группу c умножением:

(1) $$ \left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} f(x_{1},y_{1},y_{2}) \\ f(x_{2},y_{1},y_{2}) \end{array} \right) , $$

тогда верификатор для ФС ранга (3,2) можно записать в виде:

$ {}^{} \langle i|\alpha \rangle \left( \begin{array}{c} \langle j|\alpha \rangle
\langle k|\alpha \rangle \end{array} \right) ^{-1}=\langle i|\beta \rangle \left( \begin{array}{c} \langle j|\beta \rangle
\langle k|\beta \rangle \end{array} \right) ^{-1}. $

Если рассмотреть правую почтиобласть в которой для мультипликативной операции вместо одного левого аннулятора — $ 0 $, имеется целое множество левых аннуляторов, т.е. $ {}^{} (\forall a\in A)(\forall x\in B_{0})(a\cdot x=a) $, тогда двуметрические решения ФС ранга (3,2)2) можно записать через аддитивные и мультипликативные операции правой почтиобласти, определённые на плоскости:

Решение 1:

$ {}^{} (x_{1},x_{2})\cdot (y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1}+\varepsilon x_{2}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}),\text{ \ }(\varepsilon =-1,0,1), $
$ {}^{} (x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}). $

Решение 2:

$ {}^{} (x_{1},x_{2})\cdot (y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1},x_{1}y_{2}+x_{2}|y_{1}|^{c}), \text{ \ }c\in \lbrack 0;1), $
$ {}^{} (x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}). $

Решение 3:

$ {}^{} (x_{1},x_{2})\cdot (y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}^{2}+(x_{1}-1)x_{1}y_{1}^{2} \ln |y_{1}|), $
$ {}^{} (x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}+2x_{1}y_{1}\ln |y_{1}|). $

Решение 4:

$ {}^{} (x_{1},x_{2})\cdot (y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1},x_{1}y_{2}+x_{2}), $
$ {}^{} (x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},y_{2})=(y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2},(y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2})\frac{y_{2}}{y_{1}}- \frac{x_{1}}{y_{1}}). $

В решениях 2–4 мультипликативные операции изоморфны. Во всех случаях, за исключением последнего решения, нулевой элемент $ 0 $ в мультипликативной операции — двусторонний. В решении 4 нулевой элемент только левосторонний. В решениях 2–4, несмотря на их внешнее различие, левые обратные в аддитивной операции определяются одинаково $ {}^{} L(x)=(-1,0)\cdot (x_{1},x_{2}). $ Алгебраические системы над которыми могут быть построены изоморфные группы (1) можно записать и через другую аддитивную операцию, причём совпадающую для решений 2 и 3:

Решение $ {}^{} 2^{\prime } $:

$ {}^{} (x_{1},x_{2})\cdot (y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1},x_{1}y_{2}+x_{2}|y_{1}|^{c}), \text{ \ }c\in \lbrack 0;1), $
$ {}^{} (x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}+2\frac{x_{1}y_{2}% }{y_{1}}). $

Решение $ {}^{} 3^{\prime }$:

$ {}^{} (x_{1},x_{2})\cdot (y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}^{2}+(x_{1}-1)x_{1}y_{1}^{2} \ln |y_{1}|), $
$ {}^{} (x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}+2\frac{x_{1}y_{2} }{y_{1}}).$

Решение $ 4^{\prime }$:

$ {}^{} (x_{1},x_{2})\cdot (y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1},x_{1}y_{2}+x_{2}), $
$ {}^{} (x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},y_{2})=(y_{1}x_{2}+x_{1}y_{2},(y_{1}x_{2}+x_{1}y_{2})\frac{y_{2}} {y_{1}}-\frac{x_{1}}{y_{1}}). $

В данном случае левые обратные уже выражаются в виде $ {}^{} L(x)=(x_{1},x_{2})\cdot (-1,0) $, а нулевой элемент $ 0 $ в аддитивных операциях строго левосторонний, т.е. аддитивная операция является частичной.

Из данного примера и примеров правых почтиобластей над телом видна неоднозначность выбора неизоморфных алгебраических систем, над которыми можно построить одну и ту–же ФС и группу (1). Но, оказывается, имеется один инвариант для таких неизоморфных алгебраических систем — унарная операция $ {}^{} \varphi _{2}:B\rightarrow B $, определённая в виде $ {}^{} \varphi _{2}(x)=x\cdot L(e)+e $, где $ {}^{} e\in B_{0} $ --- нейтральный элемент в группе $ {}^{} (B_{0}, \cdot ,^{-1}). $

1)
Симонов А.А., О соответствии правых почтиобластей точно дважды транзитивным группам. Тезисы «Мальцевские чтения», 2009, Новосибирск. с. 239–251
2)
Михайличенко Г.Г. Двуметрические физические структуры и комплексные числа. ДАН 1991, том 321, № 4, с. 677–680.