В правой почтиобласти $ {}^{} (B,+,\cdot , L, {}^{-1}) $ построим унарную операцию $ {}^{} \varphi _{2} :B\to B $ в виде $ {}^{} \varphi _{2}(x)=x(0-e)+e=xa +e.$ Для данной операции справедливо тождество

$ {}^{} \varphi _{2}^{2}(x)=(xa+e)a+e=(xL(a)+a)+e=xL(a)EL^{2}(e)=x. $

Из определения следует $ {}^{} \varphi _{2}(e)=a+e=0$ и . $ {}^{} \varphi _{2}(0)=e$. При помощи отображения $ {}^{} \varphi _{2}$ можно выразить аддитивные операции: $ {}^{} x+y=\varphi _{2}(xEL(y))y$ и $ {}^{} x-y=\varphi _{2}(xy^{-1})L(y)$. Можно показать, что для унарной операции $ {}^{} \varphi _{2}$ справедливо тождество:

(1)$ {}^{} \varphi _{2}(\varphi _{2}(x)\varphi _{2}(y))=\varphi _{2}(x\varphi _{2}(y^{-1}))y. $

На множестве $ {}^{} \widehat{B^{2}}\subseteq B^{2}$ определим функцию $ {}^{} f:B\times \widehat{B^{2}}\rightarrow B$ в виде

(2) $ {}^{} f_{(3,2)}(x,y_{1},y_{2})=\varphi _{2}(x\varphi _{2}(y_{1}y_{2}^{-1}))y_{2}, $

при условии, что $ {}^{} y_{2}\in B_{0}$ и $ {}^{} y_{1}\times y_{2}\in \widehat{B^{2}}$. В случае $ {}^{} y_{2}\in A$ (т.е. из множества левых ануляторов группы $ {}^{} B_{0}$ ), но при $ {}^{} \varphi \left( y_{2}\right) \in B_{0}$ и $ {}^{} y_{1}\times y_{2}\in \widehat{B^{2}}$ функция $ {}^{} f$ определяется в виде

(3) $ {}^{} f_{(3,2)}(x,y_{1},y_{2})=\varphi _{2}\left( \varphi _{2}(x\varphi _{2}(\varphi _{2}(y_{1})E\varphi _{2}(y_{2})))\varphi _{2}(y_{2})\right) .$

Если мы рассматриваем только локальные группы Ли, тогда нам достаточно определения функции в виде (2), т.к. размерность множества левых ануляторов $ {}^{} \dim (A)<\dim (B_{0})$, а (3) достаточно заменить на $ {}^{} f_{(3,2)}(x,y_{1},0)=xy_{1}$. При помощи функции $ {}^{} f_{(3,2)} $ строится групповое умножение вектор–столбцов (2). Если в алгебраической системе $ {}^{} (B,\cdot ,^{-1},\varphi _{2})$ имеется такая унарная операция $ {}^{} \varphi _{3}$, для которой выполнено (1) и справедливо тождество

$ {}^{} \varphi _{3}\varphi _{2}\varphi _{3}=\varphi _{2}\varphi _{3}\varphi _{2}$,

тогда можно построить функцию

$ {}^{} f_{(4,2)}(x,y_{1},y_{2},y_{3})=\varphi _{3}\left( f_{(3,2)}(x,\varphi _{3}(y_{1}y_{3}^{-1}),\varphi _{3}(y_{2}y_{3}^{-1}))\right) y_{3}, $

при помощи которой можно построить групповое умножение вектор–столбцов:

$$ {}^{} \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} f_{(4,2)}(x_{1},y_{1},y_{2},y_{3}) \\ f_{(4,2)}(x_{2},y_{1},y_{2},y_{3}) \\ f_{(4,2)}(x_{3},y_{1},y_{2},y_{3}) \end{array} \right) . $$

Аналогичная ситуация повторяется при построении ФС ранга $ {}^{} (n+1,2)$, т.е., если в алгебраической системе $ {}^{} (B,\cdot ,^{-1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n-1})$ имеется такая унарная операция $ {}^{} \varphi _{n}$ для которой выполнено (1) и справедливы тождества $ {}^{} \varphi _{n}\varphi _{i}\varphi _{n}=\varphi _{i}\varphi _{n}\varphi _{i}$, для $ {}^{} i\in \{2,\ldots ,n- 1\},$ тогда можно построить функцию

(4)$ {}^{} f_{(n+1,2)}(x,y_{1},\ldots ,y_{n})=$ $ {}^{}\varphi _{n}\left( f_{(n,2)}(x,\varphi _{n}(y_{1}y_{n}^{-1}),\ldots ,\varphi _{n}(y_{n-1}y_{n}^{-1}))\right) y_{n}, $

при этом отображение $ {}^{} \sigma _{i}=\varphi _{i}\varphi _{2}\varphi _{i}$, для $ {}^{} i\in \{3,\ldots ,n-1\},$ на мультипликативной группе $ {}^{} (B_{0},\cdot ,^{-1})$ задаёт её автоморфизм $ {}^{} \sigma _{i}(x)\cdot \sigma _{i}(y)=\sigma _ {i}(x\cdot y)$, кроме того $ {}^{} \varphi _{i}=\sigma _{i}\varphi _{2}\sigma _{i} $. При помощи функции (4) можно построить групповое умножение вектор–столбцов:

(5)$$ {}^{} \left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} f_{(n+1,2)}(x_{1},y_{1},\ldots ,y_{n}) \\ \vdots \\ f_{(n+1,2)}(x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}) \end{array} \right) \label{group(n-2)} $$

и, соответственно, при помощи определённого выше репрезентатора $ {}^{} \langle i|\alpha \rangle =f_{(n+1,2)}(x_{i},y_{\alpha }^{_{1}},$ $ {}^{} \ldots , y_{\alpha}^{_{n}})$, построить тождество — верификатор:

(6) $$ {}^{} \langle i_{0}|\alpha \rangle \left(\begin{array}{c}\langle i_{1}|\alpha \rangle \\ \vdots \\ \langle i_{n}|\alpha \rangle \end{array} \right) ^{-1}=\langle i_{0}|\beta \rangle \left( \begin{array}{c} \langle i_{1}|\beta \rangle \\ \vdots \\ \langle i_{n}|\beta \rangle \end{array} \right) ^{-1}. \label{verif(n-2)} $$

Примеры

ФС ранга (4, 2) над полем вещественных чисел

Покажем как при помощи (6) можно записать решение для ФС ранга (4, 2) над полем вещественных чисел (или над произвольным полем). Определим мультипликативную группу $ {}^{} B_{0}$ как $ {}^{} \mathbb{R}_{0}$ – мультипликативную группу вещественных чисел без нуля. Унарная операция $ {}^{} \varphi _ {2}(x)=1-x$, автоморфизм мультипликативной группы $ {}^{} \sigma _{3}(x)=x^{-1} $ так, что $ {}^{} \varphi _{3}(x)=\frac{x-1}{x}$ для которого справедливо тождество $ {}^{} \varphi _{2}\varphi _{3}\varphi _{2}=\varphi _{3}\varphi _{2}\varphi _ {3}$. Расширяя бинарную мультипликативную операцию $ {}^{} 0x=0,\infty x=\infty $ окончательно получим выражение для репрезентатора:

$ {}^{} f_{(4,2)}(x,y_{1},y_{2},y_{3})=\frac{y_{2}(y_{3}-y_{1})+xy_{3}(y_{1}-y_{2})}{y_{3}-y_{1}+x (y_{1}-y_{2})}, $

для которого справедливо

$$ {}^{} \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \infty \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \infty \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right) . $$

Двуметрических ФС ранга (n+1,2)

Запишем теперь классификацию двуметрических ФС ранга $ {}^{} (2,n+1)$ через классификацию алгебраической системы $ {}^{} (\mathbb{R}^{2},\cdot ,{}^{-1},\varphi _{2}, \sigma _{i})$, построенной над группами $ {}^{} \mathbb{G}_{1}$ и $ {}^{} \mathbb{G}_{2}$. Группу $ {}^{} \mathbb{G}_{1}$ запишем в двух локально изоморфных представлениях: $ {}^{} \mathbb{G}_{1}^{(1)}$ с умножением $ {}^{} (x_{1},x_{2})(y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}),$ и $ {}^{} \mathbb{G}_{1}^{(2)} $ с умножением $ {}^{} (x_{1},x_{2})(y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1}+\varepsilon x_{2}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}).$ При $ {}^{} \varepsilon =1,$ таким образом определённое умножение, задаёт умножение двойных чисел, при $ {}^{} \varepsilon =0$ — это умножение дуальных чисел и при $ {}^{} \varepsilon =-1$ — это умножение комплексных чисел. Первые два примера гиперкомплексных чисел обладают делителями нуля и, потому в глобальном случае не являются группами, хотя локально они группы. Группа $ {}^{} \mathbb{G}_{2}$ по–прежнему с умножением $ {}^{} (x_{1},x_{2})(y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1},x_{1}y_{2}+x_{2})$.

Двуметрические ФС ранга (2,3)

Двуметрические ФС ранга $ {}^{} (2,3)$ могут быть построены над алгебраическими системами:

1.) $ {}^{} \mathbb{G}_{1}^{(2)}$, $ {}^{} \varphi _{2}(x_{1},x_{2})=(1-x_{1},-x_{2}).$

2.) $ {}^{} \mathbb{G}_{2},\varphi _{2}(x_{1},x_{2})=(x_{2},x_{1}),$

3.) $ {}^{} \mathbb{G}_{2},$ $ {}^{} c\in \lbrack 0;1)$, $ {}^{} \varphi _{2}(x_{1},x_{2})=(|x_{1}|^{c}\frac{|x_{1}|^{\frac{c}{c-1}}-x_{1}}{\left(|x_{1}|^{\frac{c}{c-1}}-x_{1}\right) ^{c}},|x_{1}|^{c}\frac{x_{2}}{\left(|x_{1}|^{\frac{c}{c-1}}-x_{1}\right) ^{c}}),$

4.) $ {}^{} \mathbb{G}_{2},$ $ {}^{} \varphi _{2}(x_{1},x_{2})=(\frac{x_{1}}{x_{1}-1}, \frac{x_{2}-\ln |x_{1}-1|+x_{1}(2-x_{1})\ln |\frac{x_{1}-1}{x_{1}}|}{(x_{1}-1)^{2}}).$

Двуметрические ФС ранга (2,4)

В решениях 1 и 2 имеется автоморфизм $ {}^{} \sigma _{3}$, позволяющий построить ФС ранга $ {}^{} (2,4)$. Решение 1 имеет два независимых решения:

1.a.) $ {}^{} \mathbb{G}_{1}^{(1)}$, $ {}^{} \varphi _{2}(x_{1},x_{2})=(1-x_{1},1-x_{2}),\sigma _{3}(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{-1},x_{2}x_{1}^{-1}),$

1.b.) $ {}^{} \mathbb{G}_{1}^{(2)}$, $ {}^{} \varphi _{2}(x_{1},x_{2})=(1-x_{1},-x_{2}),\sigma _{3}(x_{1},x_{2})=(\frac{x_{1}}{x_{1}^{2}-\varepsilon x_{2}^{2}},\frac{-x_{2}}{x_{1}^{2}-\varepsilon x_{2}^{2}}),$

2.) $ {}^{} \mathbb{G}_{2},\varphi _{2}(x_{1},x_{2})=(x_{2},x_{1}),\sigma _{3}(x_{1},x_{2})=(x_{1},1-x_{1}-x_{2}).$

Двуметрические ФС ранга (2,5)

Над группой $ {}^{} \mathbb{G}_{1}^{(1)}$, за счет существования $ {}^{} \sigma _ {4}$, можно построить ФС ранга $ {}^{} (2,5)$.

1.a.) $ {}^{} \mathbb{G}_{1}^{(1)}$, $ {}^{} \varphi _{2}(x_{1},x_{2})=(1-x_{1},1-x_{2})$, $ {}^{} \sigma _{3}(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{-1},x_{2}x_{1}^{-1})$, $ {}^{}\sigma _{4}(x_{1},x_{2})=(x_{1}x_{2}^{-1},x_{2}^{-1})$.