Полная классификация двумерных геометрий была получена Г.Г. Михайличенко ¹⁾. О двумерных феноменологически симметричных геометриях можно говорить, как о плоских геометриях максимальной подвижности.

Существует гладкое многообразие $ {}^{} \mathfrak{N}$, открытое и плотное подмногообразие $ {}^{} \mathfrak{S}_{\mathfrak{N\times N}} \subseteq \mathfrak{N\times N}$. Также существует достаточно гладкая невырожденная функция $ {}^{}f:\mathfrak{S}_{\mathfrak{N\times N}}\rightarrow {\mathbb{R}}$, которую будем называть метрической функцией, гладкая функция шести переменных $ {}^{}\Phi :{\mathbb{R}}^{6}\rightarrow {\mathbb{R}}$, $\text{grad}\Phi \neq 0$. Если для любого кортежа из четырех произвольных точек $ {}^{} \langle xyzu\rangle $, каждая пара которого принадлежит множеству $ {}^{} \mathfrak{S}_{\mathfrak{N\times N}}$ имеет место функциональная связь:

$ {}^{} \Phi (f(xy),f(xz),f(xu),f(yz),f(yu),f(zu))=0, $

тогда метрическая функция $ {}^{} f$ на многообразии $ {}^{} \mathfrak{N}$ будет задавать двумерную феноменологически симметричную геометрию.

Этому определению удовлетворяют некоторые известные, а также и неизвестные геометрии. Метрические функции этих геометрий в специальной системе локальных координат принимают следующий вид для:

1. Плоскости Евклида: $ {}^{} f(xy)=(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}$, где, например, $ {}^{} x_{1}$, $ {}^{} x_{2}$ – координаты точки $ {}^{} x$, а множество $ {}^{}\mathfrak{S}_{\mathfrak{N\times N}}$ состоит из произвольных пар точек плоскости;

2. Плоскости Минковского: $ {}^{} f(xy)=(x_{1}-y_{1})^{2}-(x_{2}-y_{2})^{2};$

3. Геометрии Римана: $ {}^{} f(xy)=\cos x_{2}\cos y_{2} \cos(x_{1}-y_{1})+\sin x_{2}\sin y_{2};$

4. Геометрии Лобачевского: $ {}^{} f(xy)=\sinh x_{2}\sinh y_{2}\cos (x_{1}-y_{1})-\cosh x_{2}\cosh y_{2};$

5. Гиперболической геометрии: $ {}^{} f(xy)=\cosh x_{2}\cosh y_{2}\cos (x_{1}-y_{1})-\sinh x_{2}\sinh y_{2};$

6. Симплектической плоскости: $ {}^{} f(xy)=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1};$

7. Плоскости Гельмгольца: $ {}^{}f(xy)=[(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}]\exp \left( \gamma \text{arctg} \frac{x_{2}-y_{2}}{x_{1}-y_{1}}\right) $, где постоянная $ {}^{} \gamma >0$, причем функция $ {}^{} \text{arctg}$ рассматривается однозначной с областью значений в промежутке $ {}^{} (-\pi /2,\pi /2)$. Множество $ {}^{} \mathfrak{S}_{\mathfrak{N\times N}}$ состоит из пар точек $ {}^{} \langle xy\rangle $, первые координаты которых различны. Термин «Плоскость Гельмгольца» появилась из анализа работы Гельмгольца ²⁾ «О фактах, лежащих в основании геометрии», где он предлагал изучать геометрию, в которой роль окружности выполняет логарифмическая спираль;

8. Псевдогельмгольцевой плоскости:

$ {}^{} f(xy)=[(x_{1}-y_{1})^{2}-(x_{2}-y_{2})^{2}]\exp \left( \beta \text{Arc( c )th} \frac{x_{2}-y_{2}}{x_{1}-y_{1}}\right), $

где постоянная $ {}^{} \beta >0$ и $ {}^{} \beta \neq 2$, причем выбирается функция $ {}^{}\text{Arth}$, если аргумент по модулю меньше единицы и выбирается функция $ {}^{}\text{Arcth}$, если аргумент по величине больше единицы, множество $ {}^{}\mathfrak{S}_{\mathfrak{N\times N}}$ состоит из пар точек $ {}^{} \langle xy\rangle $, координаты которых, с одной стороны, не удовлетворяют условиям: $ {}^{}x_{1}-y_{1}=\pm (x_{2}-y_{2})$, а с другой стороны, $ {}^{} x_{1}\neq y_{1}$;

9. Дуальногельмгольцевой плоскости: $ {}^{} f(xy)=(x_{1}-y_{1})^{2}\exp \left( \frac{x_{2}-y_{2}}{x_{1}-y_{1}}\right) $, причём множество $ {}^{}\mathfrak{S}_{\mathfrak{N\times N}}$ состоит из пар точек $ {}^{} \langle xy\rangle $ с различными первыми координатами;

10. Симплициальной плоскости: $ {}^{} f(xy)=\frac{x_{2}-y_{2}}{x_{1}-y_{1}},$ где область определения $ {}^{} \mathfrak{S}_{\mathfrak{N\times N}}$ этой метрической функции состоит так же из пар точек $ {}^{} \langle xy\rangle $ с различными первыми координатами.

Пусть $ {}^{} H$ — группа диффеоморфизмов феноменологически симметричной плоскости. Преобразование $ {}^{} h:\mathfrak{N\rightarrow N}$ называется движением, если оно оставляет метрическую функцию $ {}^{} f$ инвариантной, т.е. для $ {}^{} \langle xy\rangle \in \mathfrak{S}_{\mathfrak{N\times N}}$ и $ {}^{} \langle h(x)h(y)\rangle \in \mathfrak{S}_{\mathfrak{N\times N}}$ справедливо $ {}^{} f(h(x),h(y))=f(x,y).$ Михайличенко Г.Г. ³⁾ показал, что по метрической функции $ {}^{} f$ находится трехпараметрическая группа движений $ {}^{} H $, а по этой группе движений, с точностью до гладкой функции $ {}^{} \psi :{\mathbb{R}}\rightarrow {\mathbb{R}}$, восстанавливается метрическая функция $ {}^{} f $ .

Последнее утверждение сильно сближает геометрии на одном множестве с геометриями на двух множествах (ФС на двух множествах), т.к. для них так же по группе преобразований, сохраняющей репрезентатор, можно получить сами репрезентаторы. Это проявляется и в том, что сами метрические функции геометрий на одном множестве можно получить из геометрий на двух множествах. Действительно, если произвести отображение $ {}^{} \mathfrak{N\rightarrow M}$, тогда вместо корта $ {}^{}\langle ijkl|\alpha \beta \gamma \delta \rangle $ можно будет рассматривать корт $ {}^{} \langle ijkl|ijkl\rangle $. В этом случае, первые два решения — плоскости Евклида и Минковского можно получить из репрезентатора (2) ФС ранга $ {}^{}(4,4)$ при дополнительном условии $ {}^{} f(i,j)=f(j,i)$ и $ {}^{} f(i,i)=0$.

Решения для геометрий Римана, Лобачевского и гиперболической получаются из репрезентатора (1) ФС ранга $ {}^{} (4,4)$ при дополнительном условии $ {}^{}f(i,j)=f(j,i)$ и $ {}^{} f(i,i)=1$.

Метрическая функция симплектической плоскости получается из репрезентатора (1) ФС ранга $ {}^{} (3,3)$ при дополнительном условии $ {}^{} f(i,j)=-f(j,i)$.

Оставшиеся четыре геометрии связаны с триметрическими ФС ранга (2,2) — $ {}^{}G_{\mu }$. При надлежащем выборе изотопических преобразований $ {}^{} \chi ,\psi ,\lambda :{\mathbb{R}}^{3}\rightarrow {\mathbb{R}}^{3}$ трёхмерных групп $ {}^{} G_{\mu }$ одна из трёх компонент функции

$ {}^{} f^{\prime }=(f_{1}^{\prime },f_{2}^{\prime },f_{3}^{\prime })=\chi \left( G_{\mu }\left( \psi (x_{1},x_{2},x_{3}),\lambda (y_{1},y_{2},y_{3})\right) \right) $

будет совпадать с метрической функцией плоской геометрии ⁴⁾. В частности, плоскость Гельмгольца получается из группы $ {}^{} G_{5}$, псевдогельмгольцева из $ {}^{} G_{4}$ при $ {}^{} 0<p^{2}<1$, дуальногельмгольцева из $ {}^{} G_{3}$, симплициальная из $ {}^{} G_{4}$ при $ {}^{} p=1$.