ru:mix:articles:books

Математические основы и результаты теории физических структур (С приложением А.Н. Бородина) 2012 г., 826 Кбайт. (Математические основы и результаты теории физических структур (С приложением А.Н. Бородина) 2016 г., 1,2 Мб — второе издание, исправленное, в двуязычном варианте)

Монография является заключительной в серии работ автора, вышедших за последние 15 лет. Объём всех пяти вышедших ранее монографий становится достаточно существенным, кроме того, все они, кроме формулировок и постановки задач, содержат строгие доказательства всех теорем и лемм. В связи с этим возникла потребность охватить в одной работе общие проблемы и идеи, которые связывают все монографии.

В данной работе формулируются определения и приводятся результаты исследований, делается акцент на поставленных и решаемых задачах. Не вдаваясь глубоко в детали, удаётся показать суть теории. При этом везде, где приводятся результаты, даются ссылки на первоисточники и на соответствующие разделы предыдущих монографий.

Представлены результаты не только собственных исследований, но и работ других авторов, благодаря чему монография может использоваться как справочник по теории физических структур. Такое построение материала делает эту работу очень полезной с точки зрения предварительного ознакомления с теорией. Уровень детализации не отпугнёт математически неподготовленного читателя, а для подготовленного монография станет путеводителем, давая предварительные данные и отсылая к другим работам за более подробной информацией.

Физические структуры как геометрии двух множеств в соавторстве с Р.М. Мурадовым и приложениями В.А Кырова и А.Н. Бородина. 2008 г. 939 Кбайт.

Пятая монография написана в соавторстве с Р.М. Мурадовым. Так же как и четвертая, последняя монография является научно–методическим изданием, дополняющим первую и третью чисто научные монографии — «Математический аппарат теории физических структур» и «Групповая симметрия физических структур».

Физическая структура представляет собой своеобразную геометрию двух множеств, метрическая функция которой сопоставляет число (или несколько чисел) паре точек, но не из одного множества, как в обычной геометрии, а из двух разных множеств. Оказывается, в такой геометрии проявляются групповая симметрия, определяемая группой её движений, и феноменологическая симметрия, суть которой состоит в наличии функциональной связи между всеми расстояниями для определенных наборов точек из первого и второго множеств. Обе симметрии оказываются эквивалентными.

Глава IV принадлежит соавтору Р.М. Мурадову. В ней он изучает связь метрической функции с квазигруппами и гиперкомплексными числами, показывает, как можно использовать эту связь для записи уравнения, выражающего феноменологическую симметрию.

В каждой главе последний параграф Некоторые примеры и задачи посвящен демонстрации методов решения контрольных заданий (88 вариантов на стр. 133–136), многие из которых носят исследовательский характер, представляя ещё не решенные проблемы теории физических структур. В первом приложении В.А. Кыров классифицирует четырёметрические физические структуры, а во втором — А.Н. Бородин строит теорию алгебраических груд на базе абстрактной физической структуры ранга (2,2).

Двумерные геометрии (С приложением В.А. Кырова) 2004 г., 805 Кбайт.

Четвёртая монография является научно–методическим изданием, дополняющим вторую научную монографию Полиметрические геометрии. Двумерные геометрии задаются на двумерном многообразии невырожденной метрической функцией. Их феноменологическая симметрия означает следующее: для любой четвёрки точек шесть возможных взаимных расстояний функционально связаны.

Плоскость Евклида и обычная сфера являются примером двумерной феноменологически симметричной геометрии, но не только они. Приводится полная классификация таких геометрий, выявляется их групповая симметрия и устанавливается её эквивалентность феноменологической симметрии. В двумерных геометриях естественно определяются окружности и циклы, причем для последних возникают особого рода функциональные уравнения.

Двуметрические феноменологически симметричные двумерные геометрии, задаваемые двухкомпонентной метрической функцией, допускают содержательную физическую интерпретацию в термодинамике. Они также наделены групповой симметрией, которая эквивалентна феноменологической симметрии. Трёхмерные и триметрические феноменологически симметричные геометрии определяются аналогично двумерным и двуметрическим. Приводятся и их классификации. Составлены варианты контрольных заданий творческого характера, при выполнении которых выявляется склонность читателя к научно–исследовательской работе, так как решения многих из них ещё не найдены.

Приложение Симплектические многообразия написано доцентом В.А.Кыровым. Такие многообразия строятся на базе соответствующих феноменологически симметричных симплектических геометрий.

Книга адресована преподавателям, аспирантам и студентам старших курсов как пособие к спецкурсу «Двумерные геометрии». Издание осуществлено при финансовой поддержке РФФИ (грант 02-01-01071). Рецензент — доктор физико–математических наук, профессор Е.Д. Родионов, заведующий кафедрой геометрии БГПУ.

Групповая симметрия физических структур 2003 г., 1.1 Мбайт.

Третья монография есть расширенный и дополненный новыми результатами вариант второй главы докторской диссертации, которая была защищена в 1993 году в Институте Математики СО РАН.

В монографии определяются и классифицируются физические структуры как феноменологически симметричные геометрии двух множеств, причём не только с одним расстоянием, но и с несколькими. Оказывается, что и такие необычные геометрии наделены групповой симметрией определенной степени, которая эквивалентна феноменологической симметрии. То есть Эрлангенская программа Ф. Клейна (1872) естественно распространяется на геометрии двух множеств.

Исследование в параграфах 3 и 4 групповой симметрии физической структуры ранга (3,3) показало, что для классификации физических структур как геометрий двух множеств, в отличие от обычных геометрий на одном множестве, должна быть уточнена классификация групп преобразований, которая обычно проводится с точностью до слабой эквивалентности, то есть подобия. Действительно, без перехода в классификации групп преобразований к сильной эквивалентности ни одна из её метрических функций не может быть получена как невырожденный двухточечный инвариант.

В параграфе 7 построена полная классификация двуметрических физических структур ранга (n+1,2), а в параграфе 8 — триметрических физических структур минимального ранга (2,2).

В параграфе 10 исследуется групповая симметрия произвольных физических структур. Показано, что групповой симметрий могут быть наделены только бинарные физические структуры, в которых метрическая функция определена на декартовом произведении множества $M$ на себя или множеств $M$ и $N$ друг на друга.

В параграфе 9 описан переход от геометрии двух множеств к обычной геометрии одного множества.

В приложении А.Н.Бородина Груда и группа как физическая структура исследуются некоторые алгебраические следствия принципа феноменологической симметрии.

Полиметрические геометрии (С приложением В.А. Кырова) 2001 г., 750 Кбайт.

Во второй монографии определяются и классифицируются феноменологически симметричные полиметрические геометрии, в которых паре точек сопоставляется не одно число, а несколько. Такие геометрии имеют содержательную физическую интерпретацию, например, в термодинамике.

Доказывается, что групповая и феноменологическая симметрии полиметрических геометрий эквивалентны. Построена полная классификация двуметрических геометрий на плоскости и триметрических геометрий в пространстве. Степень их групповой симметрии равна двум и трем соответственно, а ранг феноменологической симметрии равен трём.

Метод проведения классификации чисто групповой. Сначала находятся все двумерные и трёхмерные алгебры Ли групп Ли преобразований плоскости и пространства соответственно, а затем вычисляются их невырожденные двухточечные инварианты.

В Приложении как решения функциональных уравнений В.А. Кыровым находятся шестимерные алгебры Ли групп движений трёхмерных однометрических феноменологически симметричных геометрий.

Математический аппарат теория физических структур 1997 г., 2.9 Мбайт.

Первая монография представляет собой редакцию кандидатской диссертации Решение некоторых функциональных уравнений, связанных с понятием физического закона, которая была защищена автором в Совете Новосибирского университета в 1974 году. По сути она представляет собой подробное и выверенное изложение объёмного доказательства основной классификационной теоремы для физических структур (феноменологически симметричных геометрий двух множеств — ФС ГДМ) произвольного ранга.

Установлено, для каких рангов физические структуры существуют, а для каких — нет. Установлено, сколько неэквивалентных выражений имеет метрическая функция в случае существования физической структуры. Использован чисто функциональный метод преобразования уравнения $\Phi=0$, выражающего феноменологическую симметрию.