Алгебраическая система $ {}^{} (F,+,\cdot )$ с двумя бинарными операциями: $ + $ аддитивной и $ \cdot $ мультипликативной, такими что $ {}^{} (F,+)$ и $(F^*,\cdot )$ – абелевы группы с нейтральными элементами – $ 0 $ и $ 1 $ соответственно, где $ {}^{} F^*=F\setminus \{0\}$. Операции связаны законами дистрибутивности:

$ {}^{} x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$

$ {}^{} (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$

Для произвольного $ {}^{} x\in F$ справедливо $ {}^{} x\cdot 0= 0\cdot x=0$.

Примеры множеств, являющихся полями

  • $\mathbb{Q}$ – рациональные числа,
  • $\mathbb{R}$ – вещественные числа,
  • $\mathbb{C}$ – комплексные числа,
  • $\mathbb{Z}_p$ – поле вычетов по модулю $ p $, где $ p $ – простое число.
  • $\mathbb{F}_q$ – конечное поле из $q=p^k$ элементов, где $ p $ — простое число, $ k $ – натуральное.