Определим правую почтиобласть как алгебраическую систему $ {}^{} (B_1, 0, v, \cdot , + , -, h, r)$ с операциями:

$ {}^{} (+):B\times B_1\to B, \ (-):B\times B_1\to B, \ (\cdot ):B\times B_1\to B,$ где $ {}^{} B=B_1 \cup \{0\} $ и

$ {}^{} v:B_1\to B_1, \ h:B_1\times B_1\to B_1, \ r:B_1\times B_1\to B_1, $ для которых выполнены аксиомы

  1. $ {}^{} (\forall x\in B)(\forall y\in B_1) \ (x-y)+y=x$;
  2. $ {}^{} (\forall x\in B)(\forall y\in B_1) \ (x+y)-y=x$;
  3. $ {}^{} (\forall x\in B_1) \ x-x=0$;
  4. $ {}^{} (B_1, \cdot , e)$ — группа с нейтральным элементом $ {}^{} e\in B_1$;
  5. $ {}^{} (\forall x\in B)(\forall y, z\in B_1)(\exists h(y,z)\in B_1) \ (x+y)z=xh(y,z)+yz$;
  6. $ {}^{} (\forall x\in B)(\forall y, z\in B_1: y+z\neq 0)(\exists r(y,z)\in B_1) $ $ {}^{} \ (x+y)+z=xr(y,z)+(y+z)$;
  7. $ {}^{} (\forall x\in B)(\forall z\in B_1)(\exists v(z)\in B_1) \ (x+(0-z))+z=xv(z)$.

Тождество из 5 приводит к нарушению правой дистрибутивности, левой дистрибутивности не требуется. Тождество 6 описывает нарушение ассоциативности, 7 обусловлено тем, что бинарные операции являются частичными.

В отличие от правой почтиобласти в почтиобласти $ {}^{} h(y,z)=z$ и $ {}^{} v(z)=e$. Аксиомы А1 — А3 определяют алгебраическую систему $ {}^{} (B_1, 0, + , -)$ как правую лупу. Введём обозначения $ {}^{} L(x)=0-x$, тогда из А1 следует $ {}^{} L(x)+x=0$. Т.о. отображение $ {}^{} L:B_1\to B_1$ определяет левый обратный в правой лупе.

Можно показать 1), что справедлива
Лемма. В правой почтиобласти выполнено:

  1. $ {}^{} (\forall x\in B_1) \ 0x=0$;
  2. $ {}^{} h(x,y)=EL(x)L(xy)$;
  3. $ {}^{} r(y,z)=(L(z)-y)^{-1}L(y+z)$;
  4. $ {}^{} x-z=xv^{-1}(z)+L(z)$;
  5. $ {}^{} v(z)= EL^{2}(z)z$,

где $ {}^{} E(x)=x^{-1}$, $ {}^{} EL$ — суперпозиция преобразований $ {}^{} L$ и $ {}^{} E$.

Примеры

Рассмотрим несколько примеров правых почтиобластей $ {}^{} (\mathbb{K},\oplus ,\ominus , \cdot ,^{-1},0) $, построенных над телом $ {}^{} (\mathbb{K},+,-,\cdot ,^{-1},0) $:

$ {}^{} x\oplus y=-xa^{-1}+y,\text{ }L(x)=ax,\ r(y,z)=-a^{-1},\ v(z)=a^{-2}.$

В такой правой почтиобласти выполняется двухсторонняя дистрибутивность и справедливо тождество $ {}^{} L(x\oplus y)=L(x)\oplus L(y) $. Для второго примера над телом:

$ {}^{} x\oplus y=xy^{2}+y$, $ {}^{} L(x)=-x^{-1}$, $ {}^{} r(y,z)=y^{2}z(z+y)^{-1}(yz+1)$, $ {}^{} h(y,z)=z^{-1} $

это соотношение не выполняется $ {}^{} L(x\oplus y)\neq L(x)\oplus L(y) $, но выполнено $ {}^{} L(x)\oplus x=x\oplus L(x)=0 $.