В качестве произведения двух матриц $ {}^{} A=||a_{ij}|| $ и $ {}^{} C=||c_{jk}|| $ будем рассматривать матрицу $ {}^{} D=||d_{ik}|| $, построенную при помощи функции $ {}^{} f:\mathfrak{S}_{f}\rightarrow B $, где $ {}^{} \mathfrak{S}_{f}\subseteq B^{m}\times B^{n} $ . При этом перемножаться могут матрицы размера $ {}^{} n\times m $, где $ {}^{} n $ — число строк, $ {}^{} m $ — число столбцов матрицы. Элемент $ {}^{} d_{ij} $, стоящий в $ {}^{} i $ -- той строке и $ {}^{} j $ -- том столбце, есть функция $ {}^{} f $ от $ {}^{} m $ элементов $ {}^{} i $ -- той строки матрицы $ {}^{} A $ и $ {}^{} n $ элементов $ {}^{} j $ -- того столбца матрицы $ {}^{} C $:

$ {}^{} d_{ij}=f(a_{i1},a_{i2},\ldots ,a_{im},c_{1j},c_{2j},\ldots ,c_{nj}). $

В матрице $ {}^{} A\in B^{nm} $ для обозначения $ {}^{} i $ – той строки будем писать $ {}^{} A_{i\ast } $, а для обозначения $ {}^{} j $ – того столбца будем писать $ {}^{} A_{\ast j} $. В этих обозначениях элемент $ {}^{} d_{ij} $ можно записать в виде произведения строки на столбец: $ {}^{} d_{ij}=A_{i\ast }C_{\ast j} $.

Определим множество всех строк $ {}^{} \{A_{i\ast }|i\in \{1,2,\ldots ,n\},A\in \mathfrak{S}_{B^{nm}}\}=\mathfrak{S}_{B^{m}} $

и множество всех столбцов $ {}^{} \{A_{\ast j}|j\in \{1,2,\ldots ,m\},A\in \mathfrak{S}_{B^{nm}}\}=\mathfrak{S} _{B^{n}} $.

Для произвольной матрицы $ {}^{} A\in B^{mn} $ можно рассмотреть матрицы $ {}^{} A_{j}^{i} $ и $ {}^{} A^{rs} $, отличающиеся от исходной только перестановкой двух строк $ {}^{} i $ и $ {}^{} j $ или перестановкой двух столбцов $ {}^{} r $ и $ {}^{} s $ соответственно. Вполне естественно потребовать, что для множеств $ {}^{} B $ и $ {}^{} \mathfrak{S}_{B^{nm}} $ всегда выполняется условие: $ {}^{} (\forall x\in B)(\exists A\in \mathfrak{S}_{B^{nm}})(a_{ij}=x)$. Если это не так, тогда всегда можно перейти к подмножеству $ {}^{} B_{x}=B\setminus \{x\}$, для которого справедливо $ {}^{} \mathfrak{S} _{B^{nm}}\subseteq B_{x}^{nm}\subset B^{nm}$.

Потребуем, чтобы в множестве всех матриц размера $ {}^{} B^{nm} $ существовало подмножество матриц $ {}^{} \mathfrak {S}_{B^{nm}}$, для которых данное умножение было групповым. Усиливая данное требование, будем считать, что четверка $ {}^{} (B,(m,n),f, \mathfrak{S}_{B^{nm}}) $ задаёт обобщённое матричное умножение, если справедливы аксиомы:

A1. $ {}^{} (\forall A\in \mathfrak{S}_{B^{nm}}),(\forall D_{\ast j}\in \mathfrak{S}_{B^{n}}),(\exists !C_{\ast j}\in \mathfrak{S}_{B^{n}}):AC_{\ast j}=D_{\ast j} $;

A2. $ {}^{} (\forall C\in \mathfrak{S}_{B^{nm}}),(\forall D_{i\ast }\in \mathfrak{S}_{B^{m}}),(\exists !A_{i\ast }\in \mathfrak{S}_{B^{m}}):A_{i\ast }C=D_{i\ast } $;

A3. $ {}^{} (\forall A,C,D\in \mathfrak{S}_{B^{nm}}):(AC)D=A(CD) $;

A4. $ {}^{} (\forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\}):A\in \mathfrak{S}_{B^{nm}}\Leftrightarrow A_{j}^{i}\in \mathfrak{S}_{B^{nm}} $;

A5. $ {}^{} (\forall i,j\in \{1,2,\ldots ,m\}):A\in \mathfrak{S}_{B^{nm}}\Leftrightarrow A^{ij}\in \mathfrak{S}_{B^{nm}} $.

Два обобщенных матричных умножения $ {}^{} (B,(m,n),f,\mathfrak{S}_{B^{nm}}) $ и $ {}^{} (C,(m,n),g, $ $ {}^{} \mathfrak{S}_{C^{nm}}) $ естественно считать эквивалентными, если они задают изоморфные матричные группы. Если определено обобщённое матричное умножение $ {}^{} (B,(n,m),f,\mathfrak{S}_{B^{nm}}) $, то над множеством $ {}^{} B $ определена и ФС ранга ($ {}^{} n+1,m+1 $). Действительно, если определить $ {}^{} \mathfrak{M}=\mathfrak{S}_{B^{m}} $, $ {}^{} \mathfrak{N}=\mathfrak{S}_{B^{n}} $, $ {}^{} \mathfrak{S}_{\mathfrak{M}^{n+1}}=\mathfrak{M}\times \mathfrak{S}_{B^{nm}} $ , $ {}^{} \mathfrak{S}_{\mathfrak{N}^{m+1}}=\mathfrak{N}\times \mathfrak{S}_{B^{nm}} $, тогда для произвольных $ {}^{} \langle A_{0\ast },A_{1\ast },\ldots ,A_{n\ast }\rangle \in \mathfrak{M}\times \mathfrak{S} _{B^{mn}} $ и произвольных $ {}^{} \langle C_{\ast 0},C_{\ast 1},\ldots ,C_{\ast m}\rangle \in \mathfrak{N}\times \mathfrak{S}_{B^{mn}} $ справедливо тождество

(1)$ {}^{} A_{0\ast }C_{\ast 0}=(A_{0\ast }C)(AC)^{-1}(AC_{\ast 0}). $

При этом строки $ {}^{} A_{i\ast } $ составляют матрицу $ {}^{} A $, а столбцы $ {}^{} C_{\ast j} $ — матрицу $ {}^{} C $. Результатом умножения строки на матрицу $ {}^{} A_{0\ast }C $ будет строка, а результатом умножения матрицы на столбец $ {}^{} AC_{\ast 0} $ будет столбец.

В случае $ {}^{} C=A^{-1} $ тождество (1) превращается в тождество $ {}^{} A_{0\ast }C_{\ast 0}=(A_{0\ast } A^{-1})(AC_{\ast 0}), $ из которого следует, что функция $ {}^{} f $ является двухточечным инвариантом группы преобразований. Изучению этого вопроса были посвящены ряд работ Г.Г. Михайличенко1).

Используя алгебраическую аксиоматику и понятие обобщённого матричного умножения Фирдманом И.А. 2) 3) была решена задача по классификации решений ТФС с некоторыми дополнительными ограничениями, над топологическими пространствами.

Примеры

В качестве примера обобщённого матричного умножения с функцией, отличающейся от билинейной, можно рассмотреть второе однометрическое решение ФС ранга $ {}^{} (n+1,n+1) $ с функцией $ {}^{} f $ записанной в виде

(2)$ {}^{} f(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})=\sum\limits_{\mu =1}^{n-1}(x_{\mu }-x_{n})(y_{\mu }-y_{n})+x_{n}+y_{n}. $

ФС ранга $ {}^{} (n,n+1) $ получается из записанного выше решения, если положить $ {}^{} y_{n}=0 $. Матричную группу с умножением, построенным при помощи функции (2) можно записать 4) и при помощи обычного матричного умножения, но построенную над матрицами:

$$ {}^{} \left( \begin{array}{ccccc} x_{11} & \cdots & x_{1(n-1)} & x_{1n} & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{(n-1)1} & \cdots & x_{(n-1)(n-1)} & x_{(n-1)n} & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ x_{n1} & \cdots & x_{n(n-1)} & x_{nn} & 1 \end{array} \right) . $$

Заметим ещё, что любая ФС ранга $ {}^{} (m+1,n+1) $ над множеством $ {}^{} B $, задаваемая соответствующим обобщённым матричным умножением, представима как ФС ранга $ {}^{} (m+1,2) $ или $ {}^{} (2,n+1) $ над множеством $ {}^{} B^{n} $ или $ {}^{} B^{m} $ соответственно.

1)
Михайличенко Г.Г. Групповая симметрия физических структур. Барнаул: БГПУ, 2003, с. 204.
2)
Фирдман И.А. [http://mi.mathnet.ru/rus/sjim/v9/i1/p135|Алгебраическая классификация физических структур с нулем. I]]. Сиб. журнал индустриальной математики. 2005, т. 8, № 4 (24), с. 131–148.
3)
Фирдман И.А. Алгебраическая классификация физических структур с нулем. II. Топологические аспекты. Сиб. журнал индустриальной математики. 2006, т. 9, № 1 (25), с. 135–146.
4)
Бардаков В.Г., Симонов А.А. Кольца и группы матриц с нестандартным произведением, Сиб. мат. журнал, 2013, т. 54, №3, с. 504-519,