Изначально Юрий Иванович Кулаков при определении функций в ТФС рассматривал их над множеством вещественных чисел и вопрос ставился: найти все возможные пары функций репрезентатора и верефикатора для всех рангов физических структур. Иными словами, ставилась и решалась задача по классификации решений над гладкими многобразиями.

Данная задача была успешно решена Г.Г. Михайличенко. После этого пришлось под другим углом взглянуть на саму постановку задачи, вследствие чего возникла естественная потребность рассмотреть ту же классификационную задачу, но уже над другими множествами. Г.Г. Михайличенко обобщил её на случай полиметрических физических структур (ФС), когда репрезентатор рассматривается уже над множеством \mathbb R^2 и \mathbb R^3 — случай двуметрических и триметрических ФС. Некоторые задачи были рассмотрены его учениками А.А. Литвинцевым — над полем комплексных чисел \mathbb C, В.А. Кыровым — над множеством \mathbb R^4, Р.М. Мурадовым над гиперкомплексными числами. Весь этот список уже сам по себе ставит задачу изучения алгебраических систем, над которым возможно построение решений ТФС.

Первыми шагами в изучении алгебраических систем, возникающих в ТФС, были сделаны Е.Е. Витяевым и В.К. Иониным при изучении физической структуры минимального ранга — (2,2). Значительно позже А.Н. Бородин изучал эту-же структуру с точки зрения тернарной алгебраической операции.

А.А. Симонов рассмотрел алгебраические системы порождаемые физической структурой ранга 3, на одном множестве. Кроме того, он ввёл алгебраическую аксиоматику физических структур на двух множествах и показал её эквивалентность псевдоматричному умножению обобщающему обычное матричное умножение, в котором умножение матриц может строиться на некоторой функции отличной от билинейной функции. При таком подходе становится глубже понятен математический смысл ТФС.

Используя алгебраическую аксиоматику и понятие псевдоматричного умножения учеником Л.А. Бокутя И.А. Фирдманом была решена задача по классификации решений ТФС с некоторыми дополнительными ограничениями, над топологическими пространствами.

При анализе решений ФС обнаружилась их связь с новыми групповыми объектами, которые можно назвать как группы близкие к точно транзитивным. В качестве такой группы выступает как матричная группа GL(R)_n (R — некоторое поле или ассоциативное кольцо с единицей), так имеются и другие примеры. Для описания точно транзитивных групп известна их эквивалентность почтиобластям, аналогично, возникает связь между группами близкими к точно транзитивным и правыми почтиобластями или n–псевдополями.

А.Н. Бородин

Изучается физическая структура ранга (2,2) и связанные с ней алгебраические системы — группы и груды. Изучаются разложения n-группоидов на операции меньшей арности.

Литература


В.В. Витяев

Изучается физическая структура ранга (2, 2) с точки зрения теории измерений.

Литература


В.К. Ионин

Даётся определение физической структуры произвольного ранга. Показывается, что при исследовании физической структуры ранга (2, 2) возникает алгебраический объект который эквивалентен абстрактной группе. Ставится вопрос существования физических структур ранга (2,2) отличных от групповых?

Литература


С.Я. Серовайский

Даётся определение физической структуры произвольного ранга, включающие в себя как вырожденные структуры, так и невырожденные. Приводится пример не групповой физической структуры ранга (2,2).

Предлагается курс статей по истории математики.

Литература


А.А. Симонов

Даётся определение физической структуры произвольного ранга, псевдоматричного умножения. Приводятся примеры. Доказывается категорная эквивалентность алгебры физической структуры и псевдоматричного умножения. Определяются группы близкие к точно транзитивным, правые почтиобласти и n-псевдополя строится их связь как между собой, так и с псевдоматричным умножением и физическими структурами.

Литература


И.А. Фирдман

Даётся классификация топологических физических структур произвольного ранга.

Литература